SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS DE EXPONENTE IMPAR

Suma de potencias de exponente impar

Procedimiento:

Sabemos que multiplicando la suma de dos expresiones algebraicas cualesquiera por el polinomio homogeneo ordenado de segundo grado formado por dichas expresiones y coeficientes  +1, -1, +1, se obtenía la suma de cubos de dichas expresiones algebraicas

Por lo anterior vemos que : (a + b)(a²-ab + b²) = a3 + b3.

Por consiguiente,

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).

Ejemplos:

Resolver lo Siguiente:
1. x3 + 1   (x + l)(x2 - x + 1).	2. 8x3 + 27y3  (2x)3 + (3y)3 (2x + 3y)(4x2 - 6xy + 9y2)
3. x3 + y9   x3 + (y3)3   (x + y3)(x2 - xy3 + y6)

Suma de dos potencias cualesquiera con el mismo exponente impar.

Si tenemos:

a⁵ + b⁵ = (a + b)(a⁴ - a³b + a²b² - ab³ + b⁴);

y, análogamente, se comprueba que 

a⁷ +b⁷ = (a + b) (a⁶ - a⁵b + a⁴b² - a³b³ + a²b⁴ - ab⁵ + b⁶).

En general, se tiene

aⁿ + bⁿ = (a + b) (a^n-1 - a^n-2b + a^n-3b² - ...+ b^n-1)

siempre que n sea un entero positivo impar. 

Es decir:

Procedimiento

1. La suma de dos potencias con el mismo exponente n impar se descompone en la suma de las bases
2. Se multiplica por  un polinomio homogéneo de grado n - 1 con coeficientes+ 1 y - 1 alternativamente.

Ejemplos:

Resolver lo Siguiente:
1. x5 + 32  x5 + 25  (x + 2)(x4 - x3 . 2 + x2 • 22 - x . 23 + 24)   (x + 2)(x4 - 2x3 + 4x2- 8x 4+ 16).	2. 243x5 + 1  (3x)5+ 1   (3x +  1)(81x4 - 27x3 + 9x2 - 3x + 1).

Diferencia de potencias de exponente impar.

Si tenemos:

a⁵ - b⁵ = (a - b)(a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴);

y, análogamente, se comprueba que 

a⁷- b⁷ = (a - b) (a⁶ + a⁵b + a⁴b² + a³b³ + a²b⁴ + ab⁵ + b⁶).

En general, se tiene

aⁿ - bⁿ = (a - b) (a^n-1+ a^n-2b + a^n-3b² + ...+ b^n-1)

siempre que n sea un entero positivo impar. 

Es decir:

Procedimiento

1. La diferencia de dos potencias con el mismo exponente n impar se descompone en la resta de las bases
2. Se multiplica por  un polinomio homogéneo de grado n - 1 con coeficientes positivos.

Ejemplos:

Resolver lo Siguiente:
1. x5- 32  x5 - 25   (x - 2)(x4 + x3 . 2 + x2 • 22 + x . 23 + 24)    (x - 2)(x4 + 2x3 + 4x2+ 8x 4+16).	2. 243x5 - 1  (3x)5- 1    (3x -  1)(81x4 + 27x3 + 9x2 + 3x + 1).